Colles

Questions de cours
– les $DL_n(0)$ de $exp(x)$, $1/(1-x)$ et de $(1+x)^\alpha$.
– définition d’un sous-espace vectoriel, d’une combinaison linéaire de vecteurs, d’un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
– définition d’une famille libre, définition d’une famille génératrice, définition d’une base, formule de Grassmann.

Chapitre O : développements limités
– opérations sur les développements limités (combinaisons linéaires, produit, quotient en factorisant et en se ramenant à $1/(1-x)$, situations de composition)
– lien entre DL et continuité et dérivabilité
– intégration terme à terme d’un développement limité
– formule de Taylor-Young
– développements limités de référence (en $0$ à l’ordre $n$) : $1/(1-x)$ ; $e^x$ ; $(1+x)^α$ sont à connaître impérativement, et savoir en déduire ceux de : $1/(1+x)$, $ln⁡(1+x)$, $1/(1+x^2)$, $arctan$, $cos$, $sin$, $ch$, $sh$, $√(1+x)$, $1/√(1-x^2)$, $arcsin$ et $arccos$
– application des développements limités : calcul de limites, détermination d’équivalents, étude de position relative locale (tangente ou asymptote)

Chapitre P : espaces vectoriels
– sous-espace vectoriel : définition, savoir montrer qu’un sous-ensemble d’un espace vectoriel est ou n’est pas un sous-espace vectoriel, savoir montrer qu’un ensemble avec + et . est un espace vectoriel en montrant que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu en tant que tel
– sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs : définition
– sous-espace vectoriel : intersection de sous-espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels en somme directe, sous-espaces vectoriels supplémentaires
– famille génératrice : définition, savoir déterminer une famille génératrice d’un sous-espace vectoriel défini par des équations linéaires
– famille libre : définition, savoir démontrer qu’une famille est libre ou liée
– base : définition, caractérisation par famille libre et génératrice
– dimension : définition, lien entre dimension et cardinal d’une famille libre ou génératrice, lien avec la dimension d’un sous-espace vectoriel, formule de Grassmann