Colles

Questions de cours
– Nature des intégrales $∫_1^{+∞} \frac{1}{t^α} dt$, $∫_0^{+∞}e^{-at} dt$, $∫_0^{1} \frac{1}{t^α} dt$, $∫_0^{1}ln⁡(t)dt$ et théorèmes de comparaison sur $[a,b[$ : cas où $f(t)≤g(t)$, cas où $f(t)=o_{b^-}(g(t))$, cas où $f(t) \sim_{b^-} g(t)$.
– Développements en série entière de référence : $1/(1-x)$ ; $e^x$ ; $(1+x)^α$.
– Théorèmes de dérivation et d’intégration terme à terme pour les séries entières.

Chapitre W : intégrales généralisées
– définition d’une intégrale généralisée, cas où les deux bornes posent problème
– intégrales de référence : $∫_1^{+∞} \frac{1}{t^α} dt$ est convergente si et seulement si $α>1$, $∫_0^{+∞}e^{-at} dt$ est convergente si et seulement si $a>0$, $∫_0^{1} \frac{1}{t^α} dt$ est convergente si et seulement si $α<1$, $∫_0^{1}ln⁡(t)dt$ est convergente
– intégrales de fonctions positives : théorèmes de comparaison (cas où $f(t)≤g(t)$, cas où $f(t)=o_{b^-}(g(t))$, cas où $f(t) \sim_{b^-} g(t)$
– intégrale absolument convergente
– intégration par parties
– changement de variable

Chapitre X : séries entières
– définition d’une série entière, rayon de convergence
– théorèmes de dérivation et d’intégration terme à terme
– séries entières de référence ($exp(x)$, $1/(1±x)$, $ln(1±x)$, $cos(x)$, $sin(x)$, $ch(x)$, $sh(x)$, $(1+x)^α$)
– calculs de sommes de séries entières au moyen de séries entières de référence (on pourra utiliser différentes techniques parmi les suivantes : changement de variable (par exemple $t=x/2$), changement d’indice (par exemple $k=n-2$), ajout et suppression d’un terme, factorisation par une puissance de la variable (par exemple par $x$ ou $1/x$)
– théorèmes de dérivation et d’intégration terme à terme
– calcul d’une série numérique à l’aide d’une série entière
– série entière solution d’une équation différentielle

Questions de cours
– Nature des intégrales $∫_1^{+∞} \frac{1}{t^α} dt$, $∫_0^{+∞}e^{-at} dt$, $∫_0^{1} \frac{1}{t^α} dt$, $∫_0^{1}ln⁡(t)dt$ et théorèmes de comparaison sur $[a,b[$ : cas où $f(t)≤g(t)$, cas où $f(t)=o_{b^-}(g(t))$, cas où $f(t) \sim_{b^-} g(t)$.
– Définition de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et polynôme caractéristique d’un endomorphisme ou d’une matrice.
– Caractérisation de la diagonalisabilité et de la trigonalisabilité d’une matrice ou d’un endomorphisme.

Chapitre V : réduction des endomorphismes
– définition de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre
– polynôme caractéristique
– définition et caractérisation de la diagonalisabilité d’une matrice / d’un endomorphisme
– définition et caractérisation de la trigonalisabilité d’une matrice / d’un endomorphisme
– applications : calcul de la puissance n-ième d’une matrice, résolution d’un système récurrent d’ordre 1 linéaire homogène, résolution d’un système différentiel linéaire à coefficients constants
– isométries vectorielles et matrices orthogonales, classification en dimensions 2 et 3
– théorème spectral pour les matrices symétriques réelles

Chapitre W : intégrales généralisées
– définition d’une intégrale généralisée, cas où les deux bornes posent problème
– intégrales de référence : $∫_1^{+∞} \frac{1}{t^α} dt$ est convergente si et seulement si $α>1$, $∫_0^{+∞}e^{-at} dt$ est convergente si et seulement si $a>0$, $∫_0^{1} \frac{1}{t^α} dt$ est convergente si et seulement si $α<1$, $∫_0^{1}ln⁡(t)dt$ est convergente
– intégrales de fonctions positives : théorèmes de comparaison (cas où $f(t)≤g(t)$, cas où $f(t)=o_{b^-}(g(t))$, cas où $f(t) \sim_{b^-} g(t)$
– intégrale absolument convergente
– intégration par parties
– changement de variable