Colles

Chapitre V : réduction des endomorphismes
– définition de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre
– polynôme caractéristique
– définition et caractérisation de la diagonalisabilité d’une matrice / d’un endomorphisme
– définition et caractérisation de la trigonalisabilité d’une matrice / d’un endomorphisme
– applications : calcul de la puissance n-ième d’une matrice, résolution d’un système récurrent d’ordre 1 linéaire homogène, résolution d’un système différentiel linéaire à coefficients constants
– isométries vectorielles et matrices orthogonales, classification en dimensions 2 et 3
– théorème spectral pour les matrices symétriques réelles

Chapitre W : intégrales généralisées
– définition d’une intégrale généralisée, cas où les deux bornes posent problème
– intégrales de référence : ∫_1^(+∞)▒〖1/t^α dt〗 est convergente si et seulement si α>1, ∫_0^(+∞)▒〖e^(-at) dt〗 est convergente si et seulement si a>0, ∫_0^1▒〖1/t^α dt〗 est convergente si et seulement si α<1, ∫_0^1▒〖ln⁡(t)dt〗 est convergente
– intégrales de fonctions positives : théorèmes de comparaison (cas où f(t)≤g(t), cas où f(t)=o_(b^- ) (g(t)), cas où f(t) 〖~⁡〗┬(b^- ) g(t))
– intégrale absolument convergente
– intégration par parties
– changement de variable

Chapitre W : intégrales généralisées
– définition d’une intégrale généralisée, cas où les deux bornes posent problème
– intégrales de référence : ∫_1^(+∞)▒〖1/t^α dt〗 est convergente si et seulement si α>1, ∫_0^(+∞)▒〖e^(-at) dt〗 est convergente si et seulement si a>0, ∫_0^1▒〖1/t^α dt〗 est convergente si et seulement si α<1, ∫_0^1▒〖ln⁡(t)dt〗 est convergente
– intégrales de fonctions positives : théorèmes de comparaison (cas où f(t)≤g(t), cas où f(t)=o_(b^- ) (g(t)), cas où f(t) 〖~⁡〗┬(b^- ) g(t))
– intégrale absolument convergente
– intégration par parties
– changement de variable

Chapitre X : séries entières
– définition d’une série entière, rayon de convergence
– théorèmes de dérivation et d’intégration terme à terme
– séries entières de référence (exp(x), 1/(1±x), ln(1±x), cos(x), sin(x), ch(x), sh(x), (1+x)a)
– calculs de sommes de séries entières au moyen de séries entières de référence (on pourra utiliser différentes techniques parmi les suivantes : changement de variable (par exemple t=x/2), changement d’indice (par exemple k=n-2), ajout et suppression d’un terme, factorisation par une puissance de la variable (par exemple par x ou 1/x)
– théorèmes de dérivation et d’intégration terme à terme
– calcul d’une série numérique à l’aide d’une série entière
– série entière solution d’une équation différentielle