Colles

Programme semaine 15 – 23/01 – 27/01

Chapitre P : espaces vectoriels
– sous-espace vectoriel : définition, savoir montrer qu’un sous-ensemble d’un espace vectoriel est ou n’est pas un sous-espace vectoriel, savoir montrer qu’un ensemble avec + et . est un espace vectoriel en montrant que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu en tant que tel
– sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs : définition
– sous-espace vectoriel : intersection de sous-espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels en somme directe, sous-espaces vectoriels supplémentaires
– famille génératrice : définition, savoir déterminer une famille génératrice d’un sous-espace vectoriel défini par des équations linéaires
– famille libre : définition, savoir démontrer qu’une famille est libre ou liée
– base : définition, caractérisation par famille libre et génératrice
– dimension : définition, lien entre dimension et cardinal d’une famille libre ou génératrice, lien avec la dimension d’un sous-espace vectoriel, formule de Grassmann

Chapitre Q : applications linéaires
– application linéaire : savoir montrer qu’une application est linéaire à partir de la définition
– image d’un vecteur par une application linéaire : savoir calculer l’image d’un vecteur par une application linéaire définie soit par une expression, soit par les images des vecteurs d’une base, soit par une matrice
– matrice d’une application linéaire : savoir déterminer la matrice d’une application linéaire définie dans des bases données, savoir déterminer la matrice de l’application linéaire dans d’autres bases, plus particulièrement dans le cas d’un endomorphisme et d’un changement de base de l’espace vectoriel ambiant
– noyau d’une application linéaire : connaître la définition, savoir en déterminer une équation et une base
– image d’une application linéaire : connaître la définition, savoir en déterminer une famille génératrice (image d’une base), une équation
– rang d’une application linéaire : définition, détermination, rang (nombre de pivots) d’une matrice associée à l’application linéaire, rang de la famille des vecteurs colonnes d’une matrice associée à l’application linéaire, théorème du rang
– projecteurs et symétries associés à deux sous-espaces vectoriels supplémentaires